Epistémologie mathématique

Roberto (nom d’emprunt) a 16 ans, il est grand et fort. Il était peut-être soldat en Angola, dans l’armée régulière ou dans une des bandes qui sévissent là-bas. Il est arrivé en Suisse il y a 18 mois dans les conditions que l’on devine. Demandeur d’asile, il vit au foyer pour mineurs non accompagnés de l’EVAM. Comme la plupart de ses semblables, il sait pourquoi il est là et il travaille dur. Je l’aide en mathématique. Mathématique ! Disons, les débuts. L’autre jour nous en étions aux fractions.
1/2 = 0.5 ; ça marche !
1/5 ? Ça ne marche pas malgré de sérieux essais.
On essaie autre chose: 1×5 ?
Roberto se concentre et donne péniblement sa réponse : 5.
Bravo ! Comment as-tu fait ?
1 fois 2=2 ; fois 2=4 ; fois 1=5 !!!

François Conne était, jusqu’il y a peu, enseignant et chercheur en pédagogie des maths à l’UNIGe . Il a  trouvé la démarche de Roberto intéressante et m’a offert un généreux commentaire.

6 réflexions sur « Epistémologie mathématique »

  1. Salut

    L’erreur que tu nous a décrite hier est très jolie, je ne l’ai pas encore rencontrée – pourtant j’en connais pas mal. (Et en effet un des algorithmes les plus vieux que l’on connaisse décompose toute multiplication par une suite de multiplications par 2, avec éventuellement un reste « par 1 ». Roberto aurait-il appris quelque chose du genre sans vraiment l’assimiler ?). Pour le moment il a été impossible de décrire les erreurs, on a essayé mais on manque de force et on se demande toujours à quoi bon puisqu’elles sont vues négativement. Bref, ce n’est pas encore mûr – si jamais cela le soit une fois. Je suis très entraîné à les étudier et cela va se perdre avec mon retrait. Pas grave, c’est ce qui arrive souvent (ainsi avec la fin des piagétiens s’est perdue une manière très subtile d’interroger les enfants). J’ai réussi initier quelques personnes ou disons à permettre que se développent leur sensibilité sur ces questions. C’est finalement assez facile d’observer de telles erreurs, même si elles sont des phénomènes plutôt fugaces et qui ne laissent pas de traces. (Elles n’ont pas de conséquence directe, puisque elles apparaissent lors d’activités dont la finalité s’arrête à l’activité elle-même. Les fausses notes des musiciens n’ont pas plus d’impact et on ne les oublie aussitôt.) Cela dit il y a néanmoins un enjeu selon moi. Cet enjeu, didactique, est la reconnaissance de la pensée de l’élève. C’est aussi un enjeu philosophique. Ce qu’il faut comprendre c’est que la reconnaissance n’est pas un acte individuel mais bel et bien social, il lie plus que deux personnes puisqu’il lie x à y selon un contexte socio-culturel.

    La reconnaissance dans le partage de souvenirs chancelants sur l’Iliade, Hélène et la colère d’Achille nous a lié hier en fonction non pas seulement des grecs et de Homère mais encore de la valeur qu’il y a dans notre culture à y être initié et plus encore à la licence que nous nous donnons de ne pas nous en souvenir précisément et de commettre de très grossières erreurs à ce propos.

    Ma pensée ne m’est pas accessible facilement à moi-même et accéder à sa pensée, je veux dire prendre conscience qu’une pensée nous travaille chacun, que nous sommes aussi le fruit de notre propre pensée et pas seulement sa source, tout cela demande initiation et apprentissage. Ton élève commet une erreur et trouve une manière d’en rendre compte. Il le fait après coup car qui sait comment elle a été véritablement commise, cela ne nous est pas accessible, on en est tenu à des inférences. Ce compte rendu est manifestation de sa pensée, et cela tout le monde aura avantage, toi comme lui à la reconnaître, reconnaître une pensée à l’occasion et à propos de cette erreur.

    Il y a donc pour moi un enjeu : que beaucoup plus de gens soient sensibles, comme tu l’as été, aux erreurs qui se produisent – elles ne sont pas toutes aussi jolies que cela que tu nous as narrée – bien entendu, et c’est bien pourquoi tu narres celle-ci et pas d’autres (et se reporte ainsi le processus de reconnaissance, ici de toi et de ton public.).

    Mais cela ne suffit pas, dit ainsi cela n’est encore qu’un voeux pie – hélas, il n’y a quasiment que cela dans les discours communs sur l’éducation, la pédagogie ou la didactique ! Comme une erreur n’a aucune valeur tant qu’on s’en arrête là (l’erreur dans un exercice scolaire), ou si, au contraire, on ne fait que passer dessus, (la fausse note lors d’une interprétation musicale qu’on ne pourra plus corriger), la question est celle de la suite à donner à l’erreur. Voici comment j’ai compris ce que tu nous a raconté (j’interprète et sans soute pas tout à fait exactement, peu importe). Tu demandes de diviser 1 par 5 et on te répond 0,25, et que tu l’aies demandé ou pas on t’explique cette réponse. (Note : il ya ici un malentendu de ma part, je me trompe d’erreur dans mon commentaire ! « I’ve done the wrong mistakes ! » est une répartie célèbre de Thelonius Monk. Néanmoins, l’erreur dont je parle ci-dessous a trait à la question qui a amené Jacques à demander combien fait 5 fois 1 à Robverto. L’erreur laquelle je me réfère et celle que Jacques rapporte sont très liées). Tu peux reconnaître cette erreur, mais c’est délicat puisque tu es devant un conflit entre sanctionner négativement – c’est faux – et reconnaître le positif dont elle est empreinte (Roberto aurait-il assimilé la distributivité de la multiplication sur l’addition ? Est-ce que cela a un sens ne serait-ce que d’évoquer quelque chose de si abstrait ? Toute ce sur quoi la réforme des maths modernes a buté se trouve là.). Quelle forme donc donner à ce sur quoi débouchera ce petit événement? Reconnaître, oui mais sous quelle forme?

    Souvent je commence à marquer ce genre d’événement en disant à l’élève: « Bravo ! … mais c’est faux! » Et cela a très souvent fait son effet. Une chose est certaine c’est que cela n’a pas grande valeur que de se contenter de « contempler » cette erreur, sa logique, sa rationalité etc. Pourquoi? Parce que si on fait cela, alors on sera amené à considérer qu’elle revient à raisonner juste sur de fausses prémisses, sur de faux faits, sur des erreurs plus basiques comme : 1 divisé par 5 donne 5, ou diviser par 5 c’est diviser une fois de plus que diviser par 4. Ainsi si tu te contentes de contempler ce qui est joli dans cette erreur, tu ne peux qu’aboutir à te dire : « ah si seulement cet élève partait des bonnes prémisses » (diagnostic) et te dire (remède) : « je vais lui apprendre les prémisse, les bases ». Etc.

    Mais tu te tromperais de métaphore. Les bases cognitives ne sont pas tant comme les prémisses de syllogismes que comme les camps de base des alpinistes à l’Himalaya. Ce sont des points assurés auxquels on peut retourner. Et il revient à chacun d’assurer sa propre pensée, et cela se fait par l’exploration, on va un bout, et on lorsque cela devient trop peu sûr on revient à quelque repère. Si tu apprends les bases des livrets (en France on dit les tables) à ton élève, il lui rester encore à faire quelque chose de ces bases là, à les éprouver, or c’est justement ce qui s’est passé avec sa division de 1 par 5. La question est donc : « qu’est-ce donc qui s’éprouve dans une telle erreur? »

    Et là on est tout près d’une réponse qui dit ce et comment on peut faire avec une telle erreur. Tu peux comprendre en effet que ce 0,25, l’élève te la servi – comme on dit au tennis – à toi de faire quelque chose de cette balle là ! Eh bien son explication passe par une décomposition de l’opération divisé par 5 en trois sous opérations diviser par 2 puis par 2, puis par 1. Tu en es fort aise, eh bien combien font 1 divisé par 6, puis par 8 ? Bon on n’aime pas trop demander 1 divisé par 6 et si on veut s’en tenir aux bases aux soi disant prémisses, on trouvera que diviser par 8 c’est limite. Mais ça ce sont les soucis du prof, car ce qui suggère les demandes à diviser par 6 ou par 8 c’est la logique même que l’élève aura servie et c’est donc reconnaître sa pensée (et pas la nôtre) que de lui dire : « si tu penses comme ça pour 5 comment penseras-tu pour 6 ou pour 8. » (Vois comment un syllogisme décrit vos échanges, c’est quelque chose comme un raisonnement expérimental).

    Là je puis rattacher cela à quelque chose dont j’ai une bonne expérience – alors que ton erreur (en fait, celle que j’ai faussement imaginée), on ne me l’a jamais servie jusqu’ici. Très souvent j’ai demandé à des élèves, de tous âges, enfants, adolescents comme jeunes adultes, et même un aveugle – de me plier une feuille en 2, de me dire combien de parties seront marquées lorsque je la déplierai. Puis soit on plie une seconde fois et on demande combien de parties cela fera. (Ici, expérimentalement, on tire parti que cela demande une action de déplier la feuille et une action en plusieurs moments, la structure gigogne du pliage qui se retrouve même dans la mémoire du papier – il sera facile de la replier dans le même ordre qu’on l’avait fait). La réponse est très souvent 3, on déplie et on est surpris, … Et on reprend en pliant une troisième fois et on demande combien de parties : réponses souvent, 5, ou 6. Et on continue ainsi longtemps parce que jusqu’à ce que la loi exponentielle soit trouvée, cela met du temps. Mais on peut aussi bien faire autrement et demander de plier en 3 et puis de plier en 3, en 4 en 5.

    Qu’est-ce que je propose ainsi (et dans le jeu car je joue avec les élèves lorsque je fais cela) ? On sollicite l’élève : on lui demande combien fait 1 divisé par 5. Il sert une réponse : 0,25. Il fournit une logique qui rend compte de sa réponse fondée sur de fausses prémisses. Il ne fournit pas tant ces prémisses qu’une logique, je dirais même que les prémisses qu’il se donne sont sous contrôle de sa logique. On reporte donc sa logique sur d’autres prémisses – soit par simple généralisation : « ta logique devrait aussi fonctionner pour diviser par 6 par 8 (et 8 parce que 2x2x2 comme 6 est 2+2+2) », ou encore que donne donc ta logique lorsqu’il s’agit de pliages? On a donc mis au défi la pensée de l’élève – que peut-on faire de mieux comme reconnaissance ?

    Je dis logique mais dans mon exemple cette logique est indexée sur le nombre ! C’est ce qui fait qu’on apprend bel et bien des maths – et pas que de la logique!

    Bref, je fais porter nos échanges sur la logique – ce qui est bon dans sa réponse – et pas sur ses prémisses – les bases qu’il n’aurait pas, qui ne sont pas assez solides etc.

    Maintenant tu as dit hier qu’on demande à ces élèves des tas de trucs comme les racines etc. alors qu’ils en sont encore à trouver que 1 divisé par 5 donne 5, ou 22 divisé par 1 donne 1, etc. (on trouve pas mal de choses, mais l’éventail est toujours fini). Tous des propos assez communs de la part des élèves pas fortiches en maths, mais aucun d’eux n’est tenu in abstracto, il n’y a aucune ontologie là-dedans, ce sont tous des propos produits dans certains contextes. Le point est que ces élèves n’ont certainement pas les prémisses qui permettent de construire une connaissance très cohérente, mais ils ont la raison (leur logique est élaborée, la logique d’un adolescent ou d’un jeune adulte est bien plus élaborée que celle d’un enfant de 8 -10 ans). Dit autrement, pour tout le monde apprendre quelque chose de nouveau (par exemple les racines) est une mise à l’épreuve de tout ce qu’il connaissait déjà, et cette mise à l’épreuve ne porte pas sur les prémisses – les bases – que celles-ci soient disponibles ou déficientes – mais bien sur la logique et l’économie qui fera tenir le tout. Pour nous tous apprendre quelque chose de neuf, est – et aura été – l’occasion d’enfin acquérir correctement nos bases. Apprendre correctement corrige ce qui aura été mal acquis – que cela ait été acquis ou non. Par exemple, apprendre plus de maths m’a bien dispensé de ce que auparavant j’avais acquis, mais par coeur. Ce que j’ai mal acquis – par exemple par psittacisme ou par coeur – est acquis, mais cela n’en fait pas pour autant une base de quoi que ce soit. C’est l’usage que j’en ferai qui en fera une base, bref, travailler ses bases est toujours travailler en aval des connaissances appelées à le devenir. (« Être connaissance de base » ne qualifie jamais une connaissance en elle-même, mais un système de connaissances, c’est une propriété de relations et pas marque ontologique). Donc la question pour tes élèves est bel et bien celle d’apprendre les racines (Euler dans son traité d’algèbre en fait la sixième des 7 opérations de l’arithmétiques, l’une des deux inverses de l’opération puissance) et de comprendre comment cette entreprise va venir transformer ce qu’ils savent déjà, même si ces connaissances qu’ils ont son nettement insuffisantes et lacunaires.

    On ne sait pas encore faire cela autrement qu’en tâtonnant et c’est difficile et très frustrant lorsque, en plus, on est pressé par le temps.

    F. Conne

    29.11. 2013

    Complément :

    (Tiens cela a avoir avec le propos, y a-t-il des erreurs d’orthographe en maths? Je veux dire des erreurs qui n’affectent pas la signification du développement? En principe non (voilà pourquoi un développement maths n’est pas un discours, mais si tu examines la littérature, les livres, les articles même les plus contrôlés, il se glisse toujours pas mal d’erreurs sur lesquelles le lecteur, finalement, passe assez facilement, ne serait-ce que parce qu’elles sont imprimées et qu’il n’y a pas grand chose à faire, ainsi je ne prends pas toujours la peine de les corriger, car je sais qu’aux prochaines lectures je n’y risque pas d’y être trompé, bref, ces erreurs typographiques sont comme des erreurs d’orthographe qui n’affectent pas la signification, on les corrige implicitement, et ce, contrairement au principe de l’échange maths qui consiste à faire tout son possible pour rendre tout ce que l’on avance vérifiable par son interlocuteur.)

    Dans le message de ce matin, la vitesse du propos est analogue à celle avec laquelle tu dois lier un fagot, si ton geste n’est pas assez prompt, tout risque de s’éparpiller, ou du moins tu le redoutes – pas nécessairement à juste titre.

    FC

    1. Merci François, voilà un superbe commentaire avec de quoi bien boire et bien manger.
      Pour commencer, dans le désordre:
      – Je rêvais d’un livre analysant les erreurs des élèves en mathématiques. Isabelle nous en donne la référence (voir 1er commentaire; merci à elle, je me réjouis de lire). Elle signale aussi le site du Centre de soutien à l’enseignement de l’Unil. Ce que j’en ai vu, c’est une classification des différents type d’erreurs plutôt que le suivi de la démarche mentale. Il reste une grande place que François, retraité, pourra combler avec un ouvrage fondamental qui transformera l’enseignement des mathématiques. puisse . Bon, ben, voilà ta retraite programmée. Pas toute la retraite, juste 2h chaque petit matin. C’est ainsi que travaille François Rothen (il a peut-être faibli maintenant, après 10 ans d’exercices-retraite et 4 ou 5 livres, il travaille en 2e partie de matinée).
      – La question du papier plié est bonne. Je vais essayer de l’exploiter avec Roberto.
      – On revient au fondement de l’erreur. Je t’ai écouté et lu, et je comprends que les tenants extrêmes de l’alternative sont.
      -a) L’erreur est un bruit de fond; elle est alogique. Il faut l’oublier et construire la logique pour faire juste à l’avenir.
      -b) Elle prend ses racines dans « la mathématique générative » (on reprend Chomsky le plus pur et dur et on imagine même que la mathématique générative est génétiquement déterminée.) Évidemment, moins il y a de culture et d’expositions à l’apprentissage, plus on sera proche des racines auxquelles il faut revenir pour construire le juste. À ce propos, mon Roberto n’est pas mal . Il a l’expérience de l’adulte sans presque rien savoir du formalisme scolaire.
      Il me reste un peu de la lecture de Dehaene (2010. La bosse des maths. Paris, Odile Jacob) et de son explication que la droite des nombres est dessinée de gauche à droite dans notre pensée et que penser grand fait regarder à droite. (Il ne m’a largement pas convaincu.) Toutefois, en suivant ce genre de pensée, on conduit et cadre la pédagogie. Est-ce pensable?
      Évidemment aussi, on ne va pas choisir a) ou b) mais, comme avec Nature et Nurture, l’un et l’autre se combinent. Il serait intéressant et fondamental de pouvoir mettre de l’ordre sur les rôles et effets de chacun des deux aspects.
      Notons que, en ce qui concerne Nature et Nurture, la biologie évolutive à mis passablement d’ordre, au point qu’elle mesure quantitativement un nombre h (héritabilité) qui caractérise la valeur de b comparée à a. Par ces méthodes on devrait pouvoir mesurer h(math). J’aimerais connaitre.
      Voici les pensées du moment.

      Je crains ton prochain message qui risque d’occuper ma prochaine semaine.
      Non, courageusement, je me décide! Je ne me laisserai pas noyer par FC. Son rythme est express. Je garde le mien, il est lent.

  2. Salut

    OK à suivre. Ci-dessous je ne réponds pas vraiment à tes propos.

    Trois remarques:

    1° Ce dont les Dehaene etc. parle et qu’ils ont remis au goût du jour concerne essentiellement le volet langagier du numérique élémentaire et des noms de nombres ! Même l’hypothèse de la ligne des nombres, qui n’est pas une question à proprement parler langagière, est abordée essentiellement selon sa relation au langage parlé. C’est important mais ne couvre de loin pas la question.

    Cette remarque dit surtout que la question est toujours celle de savoir ce qu’on va faire des avancées sur les questions cognitives. Depuis bientôt 100 ans (en tous cas) les personnes qui s’occupent de ces questions estiment et ne cessent de rappeler que l’exploitation didactique de leurs résultats ne peut qu’aller de soi et suivre et que la seule chose qui y ferait obstacle serait des questions secondaire de traditions culturelles. C’est tout à fait faux, car pour un didacticien leurs résultats ne sont que des données dont on peut, certes, espérer quelques résultats, mais rien n’est encore joué ! Surtout cela fait porter notre ignorance et notre savoir seulement sur la maille des questions neuro-psycho et de cognition. Comme si tout ce qu’il pouvait y avoir à connaître et savoir sur ce sujet était là. C’est parfaitement idiot.

    Je te joins le dernier article, une commande, que j’ai rédigé sur le sujet (mais peut-être te l’ai-je déjà transmis?). F. Conne, Doutes d’un didacticien des mathématiques chercheur sur le terrain de l’enseignement spécialisé. A.N.A.E, 2012, n° spécial sur dyscalculie,120-121, pp. 535-539, Paris.

    2° Pour ces raisons, ce qui m’importe ce sont les interactions avec les élèves. Et plus généralement sous la forme de penser avec eux – penser pour moi-même est confortable, j’aime ça mais ce n’est pas ce qui est ici en jeu. Et je place leur étude dans le cadre des processus interprétatifs dans lesquels ces interactions se jouent.

    Dans un échange un prof, un élève et un objet d’étude, il y a au moins quatre instances dans ce que nous appelons une situation (on situe quatre choses) : deux sujets, un milieu – qui peut se réduire aux signes écrits sur une feuille, par exemple les traces écrites laissées par quelque calcul, ces traces sont en évolution, elles se transforment et ces transformations sont significatives – et un réseau de savoirs indexé par cet objet d’études. Les sujets interagissent entre eux et avec le milieu à propos de cet objet. Une grande part des interactions entre sujets sont passent par la médiation de celles avec le milieu, qui plus est une part des actions de son interlocuteur avec le milieu font partie du milieu avec lequel on interagit (ici ma critique de la méthode des entretiens piagétiens avec des enfants).

    Je considère que lors de ces interactions des connaissances sont induites chez les sujets, et ce en partie conscientes, en partie contrôlées par lest intention volontaires, mais en partie seulement. Par exemple lorsqu’on se trouve mis en contradiction, cela échappe à notre intention et pourtant cela provoque en nous des processus cognitifs visant à reprendre pied (Piaget parle de processus d’équilibration, mais il le fait selon une perspective à long terme, alors que je me situe dans le court terme). En tous les cas, il y a ce que je nomme une perte de contrôle sur les connaissances induites dans cette situation. Le sujet n’a pas entièrement prise sur les connaissances qui vont être induites à son esprit.

    Autre exemple d’effet différé : on te sert une réponse erronée et tu la « comprends », mais cela ne se manifeste à toi que par une surprise – perte de contrôle – et éventuellement s’en suit un sentiment d’avoir prise dessus – reprise de contrôle qui ne se produit souvent que « intellectuellement » dans ta propre représentation en lui trouvant une rationalité sans que pour autant tu saches comment réagir et répondre à ce que l’élève t’a servi. (Ici il y a d’ailleurs un sérieux sujet de discussion que l’on pourrait avoir avec un piagétien à propos de « comprendre », la question est : est-ce que l’interprétation est une action. Ma réponse est oui, mais pas sûr qu’un piagétien me suive.)

    Je considère donc ici deux niveaux.

    Je parle donc d’interactions cognitives pour dire les inductions produites par l’interactions entre sujets et milieu dans le cadre d’une situation. Je parle d’interactions de connaissances pour la part intentionnelle de ces interactions. Lorsque tu reconnais par exemple une logique à une erreur de ton interlocuteur, tu fais plus que de comprendre son erreur, tu l’assimiles à ta connaissance ce qui te permet d’avoir une prise réflexive sur celle-ci.

    Mais il y en a un troisième niveau : relatif, lui, à l’objet d’étude dans lequel on inscrit et oriente toutes ces interactions.

    Ceci te masque une chose étrange c’est que tu sois à même de « comprendre » cette erreur à laquelle tu n’as jamais pensé. Certes c’est une interprétation, qui comporte souvent une devinette et qui peut s’avérer fausse. Mais tu disposes d’un moyen de reproduire cette erreur. Et cette compétence t’es procurée par ton propre savoir calculer. Ainsi donc savoir calculer nous apprend aussi à produire des erreurs.

    Il y a donc aussi, dans nos interactions, des jeux de décalages, d’immédiateté et d’effets différés (de synchronisation et de désynchronisations des pensées).

    Je parle d’investissement de savoir pour les orientations des sujets selon des valeurs ou significations. Si tu n’accordes aucune valeur à une erreur, il n’y aura aucun investissement. Il se peut aussi que tu prennes une erreur comme signe d’un manque de savoir, et que cela occasionne un investissement sur ce savoir là – par exemple connaissance des tables numériques.

    Bon je dis les choses très vite. Ce que je dis c’est que les interactions enseignantes sont très complexes. Je propose pour les analyser de les inscrire dans le cadre d’un processus interprétatif faillible. (Tout cela est grosso modo théorisé.)

    La motivation première à ma thèse est que nous sommes bien trop ignorants de choses – et aussi mais pas seulement de choses neuropsyco cognitives – pour prétendre faire autrement. Bref la thèse est d’inscrire toute pensée de nos actions didactiques dans le cadre de ce que l’on ignore et aimerait savoir et pas seulement dans celui de ce que certains d’entre nous, voire d’autres, nous disent avoir appris par leurs recherches.

    Pour en revenir à la remarque 1° : intégrer les questions didactiques dans un processus interprétatif, ne peut pas se suffire de questions quasi ontologiques sur le langage ou sur le nombre.

    3° Plus intéressant dans le cas de ton exemple.

    a) Roberto présente un cas dont une propriété générale est la suivante. Il a un certain âge qui se caractérise par une certaine maturité d’esprit – de son intelligence, dirait Piaget – qui a abouti à un certain « stade ». Cette intelligence est nourrie par une certaine expérience du monde dispensée par ce développement intellectuel, tout autant que ce dernier est nourri par elle – le rapport intelligence/expérience est bouclé, on se nourrit de ce que l’on est capable de se procurer (plus ou moins l’idée d’assimilation/accommodation chez Piaget).

    b) Pour Roberto – comme pour beaucoup de sujets, en particulier élèves de l’enseignement spécialisé – il y a un très grand écart, d’une part, entre son intelligence ou son expérience du monde et, d’autre part, ses expériences scolaires. Son niveau scolaire – que l’on détermine en lui proposant des tâches, exercices et tests scolaires portant sur des objets enseignés – est en décalage avec son expérience et son intelligence.

    Qu’est-ce que cela veut dire? Deux choses, primo : il ne sait pas des choses que l’on fait apprendre à des élèves dont la maturité intellectuelle est à un stade moins avancé, il ne sait pas des choses que beaucoup de sujets plus jeunes que lui savent déjà ; secundo : le champ de son expérience est bien plus large que celui des élèves qui savent ce que Roberto devrait encore apprendre.

    D’un côté, cette circonstance est favorable : il dispose de plus de moyens de rendre significatif ce qu’on lui enseigne – et, d’un autre côté, défavorable : il va devoir gérer des significations plus complexes pour apprendre, il devra disons faire plus abstraction de détails (ici cohérence et économie des instruments qui l’aident à étayer sa pensée).

    Mais il y a un autre facteur de difficulté qui ne provient pas des moyens de Roberto, mais de ceux de l’enseignement : notre culture a développé des moyens efficaces d’enseigner certaines choses comme le calcul élémentaire aux enfants d’un certain âge, profitant, sans en avoir pleinement conscience, des habilités des enfants à les choses, par exemple de leur appétence pour l’action etc. (tout comme, mais sans doute pas identiquement, c’est plus facile à apprendre les langue quand on est jeune, etc.). Bref les moyens que la société a développés en matière de tel ou tel enseignement sont adaptés aux moyens des élèves à qui on destine cet enseignement. Car ce sont des moyens d’un enseignement adapté aux potentialités d’apprentissages des enfants.

    c) Il faut donc apprendre à tirer parti de cet écart même. Il est vain de penser les choses en termes de comblement de cet écart. Le fait même que cet écart soit possible non seulement viable, mais ait pu se développer, montre qu’il est ridicule et stérile de désirer le voir comblé. Il ne se sera jamais.

    En ce qui concerne l’intégration de Roberto, ce qui importe est que l’on puisse lui reconnaître des savoirs et des compétences que l’on attend généralement de sujets de son âge. Bref, c’est une conformité à quelques normes. Mais de quel type de normes ? Ce sont des normes de reconnaissance. Le terme est ici parfaitement adéquat. On veut pourvoir attribuer à Roberto des savoirs et des compétences que l’on a décidé être attribuables à tout élève qui a atteint tel ou tel degré dans sa scolarité. Un point essentiel est que cette attribution est circonstancielle, elle se fait à un certain moment donné, à une certaine échéance et ensuite, on n’y revient généralement plus. Voilà le seul écart que l’on voudrait combler : un écart entre deux échéances mesuré à l’aune de quelque norme.

    d) Donc Roberto dans ses interactions avec la culture scolaire se voit proposé des choses qui ne sont pas de son âge, ni intellectuel, ni d’expérience (qui donne signification à ce qu’il apprend).

    Mais il est aussi en interaction adulte avec un autre adulte, toi. C’est là un point essentiel: à toi d’éviter de faire ce que bon nombre de parents, d’instituteurs, de parents font, c’est-à-dire ne pas te démarquer de l’école ! Il faut jouer ce démarquage pour laisser de l’espace à Roberto. Sinon tu vas le livrer à l’infantilisation scolaire.

    Je veux dire par là qu’il ne faut pas identifier ta manière de connaître et de savoir calculer et te débrouiller avec les nombres avec ce que l’école propose d’apprendre.

    Cette identification peut prendre deux voies: primo : celle de s’en remettre à l’autorité des programmes, aux manuels, aux instructions officielles. Ceci revient à ne pas reconnaître que ce que proposent les manuels n’est qu’une référence – et une référence interprétative; secundo : celle de s’imposer comme autorité, enseigner tes vues en prétextant que c’est comme ça que tu as appris et que cela a bien réussi. C’est le travers de bien des parents de surtout de papas. Ceci revient à ne pas reconnaître que l’idée que chacun se fait de son propre savoir n’est qu’une référence interprétative. Ce n’est que la résultante de ce que chacun aura fait de ce qu’on lui aura enseigné et fait apprendre.

    L’attitude que je préconise est analogue à ce qui distingue l’empathie de la sympathie. Il faut être cognitivement empathique avec Roberto, garder un espace de jeu que la sympathie pourrait par trop réduire.

    FC

  3. Bonsoir! Je me permets de signaler un petit livre (que j’ai prêté, mais par hasard je sais encore à qui donc tu pourrais l’avoir à ton tour) très sympa sur ces questions: L’erreur, un outil pour enseigner, de Jean-Pierre Astolfi, 1997.
    Voir aussi l’article d’Amaury Daele, du Centre de soutien à l’enseignement de l’Unil, sous http://pedagogieuniversitaire.wordpress.com/2011/09/26/enseigner-grace-aux-erreurs-des-etudiant-e-s/
    Vive l’EVAM et les professeurs, honoraires et autres, qui s’y activent!

    1. Bonjour

      Deux remarques, liées, concernant les propositions de Astolfi et de Daele.

      1° Attention lorsqu’on parle d’erreur/errance, on joue sur deux aspects : le résultat et le processus.

      2° L’erreur n’est pas une maladie, dire que c’est une panne est déjà moins faux et je conteste la métaphore diagnostic et remédiation, ou plutôt je demande qu’on dise à chaque fois qu’est-ce qu’on diagnostique et à quoi on veut remédier? (Les deux questions ne sont pas pléonasmes.) Dans le tableau de Mme Daele l’erreur diagnostique la relation enseignant.enseigné et cherche à y remédier, ses tableaux sont donc une sorte de vade mecum pour guider l’enseignant dans son action. Bref, cela diagnostique et remédie des erreurs d’enseignement. Mais ceci se fait sur la base de quels signes, de quelles manifestations? Des erreurs d’étudiants. Ceci est constitutif du didactique, ici je pourrais exprimer cela – maladroitement – comme ce lien qui fait que l’évaluation de l’action du professeur dépende de la performance de l’élève (pisa nous le rappelle ces jours). La manière que je propose de saisir cette relation est de considérer que les erreurs des élèves sont, dans le cas des tableaux de Mme Daele, des signes des erreurs de l’enseignant. Et je généralise alors en considérant les erreurs comme des signes qu’il s’agit d’interpréter .- au sens de Peirce – et alors de jouer des métaphores – symptôme de maladie, symptôme de panne, errance, syntaxe, voire même bugs et de patch dans des programmes informatiques – cf les recherches de Burton et Van Lehn – ou pourquoi pas « mutation » dans les règles etc. Ce ne sont que des manières de considérer les choses, parmi d’autres !

      F. Conne

      1. Oui, d’accord!
        Avec une conséquence néanmoins, et le retour à ma première constatation: François, il te faut écrire ce livre.
        Question subsidiaire. J’ai le souvenir que Piaget, cherchant à comprendre l’acquisition de la logique chez l’enfant, a utilisé avec profit les erreurs de ceux-ci. N’est-il pas vrai que son analyse a été plutôt superficielle dans le domaine des mathématiques?
        Remarquons aussi que Piaget a fait l’impasse sur ce que l’on nomme aujourd’hui la compétence naïve. C’était l’époque du « blank slate » ; l’humain naissant comme un « tableau blanc » [Pinker, 2002] sur lequel environnement et culture inscrivent la vie. On sait maintenant que cette vue est très insuffisante, mais l’exploration de « la naissance de l’intelligence chez l’enfant » par le jeu de l’acquis et de l’inné est encore à ses balbutiements. L’analyse des erreurs de calcul chez les enfants et les inexpérimentés pourrait être une riche avenue.
        Merci d’y contribuer sur mon blog.
        Mais aussi sur le tien, va mûrir ton bouquin!

        Pinker, S. (2002). The blank slate, Pinguin.

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