Symétrie et récursion: Introduction

Le grand livre sur l’interdisciplinarité que prépare le groupe Π comprendra quelques chapitres sur les symétries. Ci-dessous, l’introduction au chapitre que je propose.


Les mots « réalité », « loi », « représentation », « absolu » et « relatif », etc.[1] reviennent souvent dans les réflexions de ∏. Avant d’aborder le mot « symétrie », que l’on peut considérer comme emblématique (paradigmatique, si on se sent attiré par la mode) de nos réflexions, je souhaite préciser quelques fondements.

Le monde[2] est grand, très grand, peut-être 1018 m, ou peut-être est-il infini. Le Bon Dieu[3] connait ça. Il sait tout, partout, toujours. Pour lui, il n’y a ni temps ni espace, il n’a pas besoin de représentation, car le monde est sa représentation. Pour nous, c’est différent ! Le monde, comme toutes « choses en soi », est inatteignable. Par contre, il nous envoie des signaux que nous pouvons éventuellement percevoir, enregistrer et analyser. C’est l’ensemble de ces signaux qui est la réalité[4].

La réalité, elle aussi, est très grande et pour nous, elle est remplie d’inconnues. J’aime même croire que tous les coins et les recoins du monde pourraient, éventuellement, une fois, être accessibles à l’exploration empirique. Si tel n’était pas le cas, si quelque élément du monde était, par principe, complètement et à jamais, inaccessible à l’expérience, alors je l’appellerais un mystère. Je n’aime pas les mystères !

Ma tête est petite – à peu près 3kg. L’idée d’y mettre le monde n’a pas de sens et celle d’y faire entrer toute la réalité est évidemment ridicule. Ainsi, ma connaissance est toute petite et mon ignorance très grande, peut-être infinie. Pas de problème, ça ne me dérange pas. Au contraire, ça titille mon désir d’en savoir plus, et quand j’écris « titiller », c’est faible ; le désir d’en savoir plus est une bonne part du sens de ma vie.

Représentation du monde. À partir de sa connaissance de la réalité, chacun d’entre nous élabore une représentation[5] du monde qui, c’est bien clair, n’est ni le monde ni la réalité ; elle est propre à chacun et elle varie avec le temps et les conditions. Laissez-moi vous dire que la plus grande « découverte » de ma retraite est l’idiosyncrasie des représentations individuelles ; je suis surpris de constater combien elles diffèrent d’une personne à l’autre et combien chacun en a peu conscience[6].

Les lois. Ah, que voici un mot à prendre au sérieux ! Au départ, il y a la question : Comment est-il possible que, de ce monde si grand, nous si petits, pouvons élaborer en nous une représentation qui fasse sens?

Première piste: Loi de Mariotte. Nous prenons un litre d’air dans un pison. Ce sont quelque mille-milliards de milliards de molécules filant dans tous les sens à mille à l’heure en un cheni inimaginable. Représenter cette situation semble sans espoir, mais Mariotte observa que si, en déplaçant le piston on double le volume du gaz, la force sur une paroi diminue de moitié ; plus généralement, il constate que la pression P est inversement proportionnelle au volume : PV=Constant. La danse des atomes, on s’en fiche (d’ailleurs, les atomes, on ne les connaissait pas au temps de Mariotte), ce qui nous intéresse, ce sont les volumes et les forces et pour cela la loi nous offre une réponse aussi simple que précise. Bien sûr, il faut que le piston n’ait pas de fuite, que la température soit constante, que le gaz soit convenable et surtout que l’on n’extrapole pas trop loin ni ne mesure trop précisément. Autrement dit et, comme nous le savons à ∏, il faut être très clair sur le contexte.

Deuxième piste, plus dramatique! Il s’agit d’électricité. En 1864, Maxwell a cherché à formuler mathématiquement de la manière la plus simple possible les relations entre forces et mouvement des charges électriques. Pour commencer, il a admis que f = k. d-2 et f=k’.v (f est la force, k et k’ des constantes, d la distance entre les charges électriques et v la vitesse de la charge). À l’époque, les mesures étaient fort peu précises. Pourquoi alors admette v1 et d-2 alors que v1,13 et d-1,94 (par exemple) auraient été tout aussi correct ? Cent-cinquante années d’expérience plus tard, il se confirme que Maxwell avait vu juste. La solution correcte de la première de ces équations est comprise entre v0,999999999999999 et v1,000000000000001. (Je ne garantis pas que les 15 décimales soient la dernière valeur.) Pas mal ! Mais pourquoi est-ce la loi la plus simple qui est la loi correcte ? Bizarre ! Même chose avec Big-bang. Au départ, les données suggéraient que, dans le passé, l’univers avait été plus petit. Amusante hypothèse, on s’est dit que « plus petit », c’est un peu court et on a imaginée que l’univers avait été infiniment plus petit. Aujourd’hui, le « plus petit » expérimental est devenu 10-18 et ce printemps, on a même crû que 32 zéros pouvaient être ajoutés. Bon ! ces derniers se sont dégonflés, mais, l’histoire est quand même impressionnante.

Il parait que l’athée Einstein, disait : « S’il faut mettre Dieu quelque part, je le vois dans le fait que la nature ait des lois. » Si je ne m’abuse, Kant disait à peu près la même chose.

La loi de Mariotte est une chose. Elle nous propose un modèle incroyablement simplificateur qui marche fort honorablement dans son contexte réducteur. Les équations de Maxwell semblent d’une autre nature. À force d’additionner des zéros à la précision du modèle, on est en droit de se demander quand cela va s’arrêter. Se peut-il que les équations de Maxwell soient rigoureusement exactes ? Faut-il croire que la nature nous offre des lois platoniciennes pour la représenter ou peut-être même, que la nature est platonicienne et que, par quelques lois, nous y avons accès ? Faut-il prévoir que, bientôt, on va nous trouver la « formule Dieu » (selon une certaine presse, on la frôlée avec le boson de Higgs) ?

Bonne question à laquelle je ne sais répondre, mais, en bon matérialiste, je n’y crois pas. Je crois plutôt que, soit par élargissement du contexte, soit par affinement des mesures, les idées platoniciennes de la nature seront ramenées sur terre. Et puis, l’histoire nous a assez montré les dérives de la prétention intellectuelle humaine. Restons-en à ce que nous avons avec ce que nous sommes ; c’est plus facile à vivre.

Platoniciennes ou pas, je vois les lois de la nature comme des médiatrices entre le monde et la représentation que nous nous en faisons. Moyennant leur bonne mise en oeuvre, elles nous offrent une avenue extraordinaire pour donner sens à notre réalité et, par cela, donner sens à notre vie. Il vaut la peine d’y travailler sérieusement.

C’est dans ce but que, à ∏, nous travaillons la symétrie.

[1] Ces mots et quelques autres ne sont peut-être pas utilisés ici selon leur définition standard. Qu’importe, pourvu qu’elles soient cohérentes dans le modèle présenté.

[2] Monde : c’est « l’univers », ou bien « le tout », cette chose dont nous faisons l’hypothèse qu’elle existe sans pourtant que nous puissions jamais la percevoir en soi bien que nous en fassions partie.

[3] En bon athée, je me réfère au Bon Dieu en tant que métaphore utile.

[4] Réalité. Dans cet usage, la réalité s’identifie au monde empirique, c’est à dire, à ce qui est accessible à l’expérience. Pour mieux délimiter le concept, disons que j’ai tendance à penser que les mathématiques font partie de la réalité.

[5] Représentation : image du monde élaborée en nous sur la base de notre expérience de la réalité.

[6] Il y a longtemps à ∏, chacun avait proposé un texte ou une idée qu’il estimait fondatrice pour sa pensée. Aujourd’hui, c’est justement ce point que je mettrais en évidence.

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